ISOMONODROMY FOR COMPLEX LINEAR q-DIFFERENCE EQUATIONS

— The words “monodromy” and “isomonodromy” are used in the theory of difference and q-difference equations by Baranovsky-Ginzburg, Jimbo-Sakai, Borodin, Krichever,... although it is not clear that phenomena of branching during analytic continuation are involved there. In order to clarify what is at stake, we survey results obtained during the last few years, mostly by J.-P. Ramis, J. Sauloy and C. Zhang. Links to Galois theory (as developped by P. Etingof, M. van der Put & M. Singer, Y. André, L. Di Vizio...) are briefly mentioned. A tentative definition of isomonodromy deformations is given along with some elementary results. Résumé (Isomonodromie des équations aux q-différences complexes). — Les mots « monodromie« et « isomonodromie » ont été employés en théorie des équations aux différences et aux q-différences par Baranovsky-Ginzburg, Jimbo-Sakai, Borodin, Krichever,... bien que, dans un tel contexte, n’apparaissent pas clairement des phénomènes de ramification par prolongement analytique. Afin de clarifier ce qui est en jeu, nous décrivons des résultats obtenus ces dernières années, principalement par J.-P. Ramis, J. Sauloy et C. Zhang. Les liens avec la théorie de Galois (telle qu’elle a été développée par P. Etingof, M. van der Put & M. Singer, Y. André, L. Di Vizio...) sont brièvement mentionnés. Une définition expérimentale de déformation isomonodromique est proposée, ainsi que quelques résultats élémentaires.